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由于博文内的公式需要用到LateX,若出现公式加载不完整和失败的情况,请刷新,这是LateX代码解析时间略久造成的,属于正常现象!

极限和连续

1、闭区间连续必有界

2、极限是趋向不是取值

3、->无穷,包括+无穷和-无穷(出现指数函数时要注意)

4、洛必达法则虽然很丑陋,但有时候没办法时也要去用一用

5、无穷小运算规则:

(1)有限个无穷小的和或者乘积是无穷小
(2)有界函数与无穷小的乘积是无穷小
(3)无穷小加减运算低阶吸收高阶,相乘阶数累加,非零常数倍乘不影响阶数
(4)并不是任意两个无穷小都可以比阶

6、在求极限的过程中,尤其需要注意形如以下公式成立的前提:

\lim AB=\lim A\times \lim B
\lim\left( A\pm B\right) =\lim A\pm \lim B

A,B极限必须均存在!!!

7、夹逼准则往往只有在分子或分母式子组成次数不齐的情况下才奏效,对于齐次的求和问题,往往使用定积分的定义去做

一元微分

1、可导函数的导函数不一定连续,但是如果有间断点,一定是第二类间断点,例如:

f\left( x\right) =\begin{cases}2x\sin \dfrac{1}{x}-\cos \dfrac{1}{x},x\neq 0\\ 0,x=0\end{cases}

2、导数存在性要考虑左右导数

3、极值点是定义在领域上的,而不是整个定义域

4、费马引理是不是记不起来了?

一元积分

1、不定积分常用但很容易大脑短路的推导要有意识,最好记住

\int f(e^{x}-e^{-x})(e^{x}+e^{-x})dx=\int f(e^{x}-e^{-x})d(e^{x}-e^{-x})
-\int \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}dx=\int d(\sqrt{1-x^{2}})
\int \frac{1}{\sqrt{(x^{2}+1)^{3}}}dx=\int d(\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}})

类似的,比较猛的推导:

\int \frac{x}{(x^{2}+a)^{\frac{3}{2}}}dx=\int d(-\frac{1}{\sqrt{x^{2}+a}})

更进一步,类似的:

\int \frac{1}{x\sqrt{x^{2}-1}}dx=-\int \frac{1}{\sqrt{1-\left ( \frac{1}{x}\right )^{2}}}d(\frac{1}{x})=-\arcsin (\frac{1}{x})
\int \frac{x}{1+x^{2}}dx=\frac{1}{2}\int d[ln(1+x^{2})]
\int \frac{1}{\sqrt{x^{2}+a}}dx=\int d[ln(x+\sqrt{x^{2}+a})]
\int \frac{x}{\sqrt{x^{2}+a}}dx=\int d(\sqrt{x^{2}+a})
\int (1\mp \frac{1}{x^{2}})f(x\pm \frac{1}{x})dx=\int f(x\pm \frac{1}{x})d(x\pm \frac{1}{x})

2、三角函数n次幂的不定积分

偶次:该情形比较好处理,用倍角公式不断降次到一次,最后很容易得到原函数
奇数次:无论是cos的奇次还是sin的奇次,分离出偶次和一次的乘积的形式,一次项和dx结合使用换元积分,前面的偶次项,用coscos+sinsin=1,转换成新元的函数,最后变成了多项式函数积分

3、三角换元常见替换思路

\left\{\begin{matrix}
a^{2}-x^{2}\Rightarrow x=a\sin t\\ 
a^{2}+x^{2}\Rightarrow x=a\tan t\\ 
x^{2}-a^{2}\Rightarrow x=a\sec t
\end{matrix}\right.

4、两个结论型的公式,可能有用

图一
图一

图二
图二

多元微分

多重积分

曲线曲面积分

常微分方程

级数